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ABJ hat nun mit dem Rechteck LKBJ einerlei Grundlinie
BJ und gleiche Höhe KB; ebenso haben das Dreieck CBG und das
Quadrat ABGF einerlei Grundlinie BG und gleiche Höhe AB, daher:
Dreieck ABJ=1/2 Rechteck KBJL und CBG=1/2 Quadrat ABGF. Da
nun die beiden Dreiecke ABJ und CBG gleich gross sind, so ist auch
1/2 Rechteck KBJL=1/2 Quadrat ABGF, also auch das ganze Rechteck
so gross wie das ganze Quadrat.
Ebenso zeigt man an der andern Seite, indem man[14] die Hülfslinien
AH und BD zieht, dass auch das Rechteck CHLK dem Quadrat ACDE
an Fläche gleich ist, und folglich auch beide Rechtecke zusammen, d.
i.[15] das Quadrat der Hypotenuse, so gross ist, wie die Summe der
Quadrate der beiden Katheten.
Zusatz. Das Quadrat der einen Kathete ist so gross wie das Quadrat der
Hypotenuse weniger dem Quadrat der andern Kathete.
7.

Parallellinien. Zwei gerade Linien, welche in einerlei Ebene liegen und
nach keiner Seite hin[1] zusammentreffen, wie weit[2] man sie auch
verlängert denken mag, heissen parallel (gleichlaufend[3]).
Wenn man auf dem einen Schenkel eines Winkels gleiche Stücke
abschneidet und durch die Teilpunkte Parallele an den andern Schenkel
zieht, so schneiden diese auch auf dem andern Schenkel gleiche Stücke
ab.
Parallelen zwischen den Schenkeln eines Winkels schneiden auf
denselben proportionale Stücke ab.
Zwei Figuren heissen ähnlich, wenn sie gleichwinklig sind und die[4]
in gleicher Ordnung zwischen gleichen Winkeln liegenden Seiten
dasselbe Verhältnis zu einander haben.
In ähnlichen Dreiecken sind die[5] den gleichen Winkeln gegenüber
liegenden Seiten proportional.
Die Umfänge ähnlicher Figuren verhalten sich[6] wie zwei ähnlich
liegende Seiten, ihre Inhalte aber wie die Quadrate ähnlich liegender
Seiten.
Wenn in einer Proportion die beiden innern Glieder gleich sind, wie in
2:6=6:18, so heisst eines der gleichen mittlern Glieder die mittlere
Proportionale oder das geometrische Mittel der beiden äussern.
Das Perpendikel von einem beliebigen Punkte der Peripherie eines
Kreises auf den Durchmesser ist die mittlere Proportionale zwischen
den beiden Abschnitten des Durchmessers.
Die[7] vom Scheitel des rechten Winkels eines rechtwinkligen
Dreiecks auf die Hypotenuse gefällte Senkrechte ist das geometrische
Mittel zwischen den Abschnitten der Hypotenuse.
Jede der beiden Sehnen ist die mittlere Proportionale zwischen dem
anliegenden[8] Abschnitt des Durchmessers und dem ganzen
Durchmesser.

Jede Kathete ist das geometrische Mittel zwischen dem anliegenden
Abschnitt der Hypotenuse (begrenzt durch die Höhe auf derselben) und
der Hypotenuse selbst.
Aufgabe. Ein Quadrat zu zeichnen, welches so gross ist wie ein
gegebenes Rechteck; mit anderen Worten, ein gegebenes Rechteck
PBDE in ein an Inhalt gleiches Quadrat zu verwandeln.
Auflösung. Es kommt nur darauf an,[9] zu den beiden gegebenen Seiten
des Rechtecks PE und PB die mittlere Proportionale x zu finden, so
dass PE:x=x:PB, denn dann ist x²=PE.PB.
[Illustration]
Man füge also PE geradlinig an PB, so dass AP=PE, beschreibe über
AB, als Durchmesser, einen Halbkreis, errichte in P auf AB das
Perpendikel MP, so ist das über dieses Perpendikel konstruierte
Quadrat MPQR das verlangte, weil MP²=AP.PB=PE.PB.
8.
Ein Vieleck heisst regelmässig, wenn alle Seiten und alle Winkel
gleichgross sind.
[Illustration]
Um um[1] einen Kreis ein regelmässiges Viereck zu beschreiben,
dessen Seiten mit denen des eingeschriebenen parallel sind, halbiere[2]
man einen Bogen in M, ziehe durch M eine Tangente, welche die
verlängerten Radien CB, CD in T und H schneidet, dann ist HT eine
Seite des umschriebenen Vierecks, welche man nur in dem mit CT als
Halbmesser beschriebenen zweiten Kreise herumzutragen[3] braucht.
* * * * *
Der Inhalt eines[4] um den Kreis beschriebenen regelmässigen
Vielecks ist gleich der Fläche[5] eines Dreiecks, dessen Grundlinie
gleich dem Umfang des Vielecks, und dessen Höhe gleich dem halben

Radius des Kreises ist.
Der Flächeninhalt eines Kreises ist so gross wie der eines Dreiecks,
dessen Grundlinie gleich dem Umfange und dessen Höhe gleich dem
Halbmesser des Kreises ist.
KOERPERLICHE[6] GEOMETRIE.
So wie man eine gerade Linie nach beiden Enden hin bis in's
Unendliche[7] verlängert denken kann, so kann man sich auch eine
Ebene nach allen Seiten hin bis ins Unendliche ausgedehnt denken.
Durch zwei Punkte A und B, oder durch die sie verbindende gerade
Linie kann man unzählige Ebenen legen (führen).
Körper[8] heisst jeder nach allen Richtungen hin begrenzte Raum. Die
Summe aller ihn begrenzenden Flächen heisst die Oberfläche des
Körpers.
Die Linien, in welche sich irgend zwei[9] den Körper begrenzende
Ebenen schneiden, heissen Kanten.
An den Punkten, in welchen drei oder mehrere Grenzebenen
zusammenstossen, entsteht[10] das, was man, von aussen betrachtet,
eine Ecke, von innen gesehen, einen körperlichen Winkel nennt.
Jeder Körper, dessen Grundflächen[11] kongruente Vielecke, und
dessen Seitenflächen, welche die parallelen Seiten dieser Vielecke
verbinden, Parallelogramme sind, heisst ein Prisma, und zwar[12] ein
dreiseitiges, vierseitiges etc., je nachdem die Grundflächen Dreiecke,
Vierecke etc. sind.
Walze oder Cylinder (Zylinder) heisst jeder prismatische Körper, der
zwei kongruente und parallele Kreise zu Grundflächen hat und dessen
Seitenfläche (Mantel) eine einzige solche krumme Fläche ist, deren
sämmtliche mit der Grundfläche parallele Durchschnitte der
Grundfläche gleich sind.

Man unterscheidet gerade und