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zum Erstaunen des Königs, eine
ungeheure Summe. Welche? Antwort: 18,446,744,073,709,551,615,
eine Summe, welche auf der ganzen Erde, nach einer mässigen
Berechnung, erst in mehr als 70 Jahren gewonnen werden könnte, wenn
man auch[16] alles feste Land zum Anbau von Weizen benutzte.
5.
GEOMETRIE.
Eine gerade Linie ist diejenige, welche nicht aus ihrer Lage kommt,

wenn sie sich um zwei in ihr liegenden festen Punkte, z. B.[1] um ihre
Endpunkte, dreht.
[Illustration]
Die[2] beiden einen Winkel bildenden Linien BA, BC, heissen die
Schenkel, und der Punkt B, in welchem sie zusammenstossen, der
Scheitel (der Scheitelpunkt, die Spitze) des Winkels.
Zwei Winkel, welche einen Scheitel gemein haben und deren beiden
andern Schenkel eine gerade Linie bilden, heissen Nebenwinkel.
Alle Winkel, welche an einerlei[3] Seite einer geraden Linie liegen und
einen Scheitel in derselben gemein haben, betragen zusammen zwei
rechte Winkel.
Wenn zwei gerade Linien sich schneiden, so sind je zwei gegenüber
liegende Winkel, welche man Scheitelwinkel nennt, einander gleich.
Alle Winkel, welche rings um einen gemeinschaftlichen Scheitelpunkt
liegen, betragen zusammen immer vier rechte.
Zwei Dreiecke sind kongruent[4], wenn sie zwei Seiten und den[5] von
denselben eingeschlossenen Winkel wechselweise gleich haben.
Aufgabe. Es[6] sind alle drei Seiten, a, b, c, eines Dreiecks gegeben; es
soll das dadurch bestimmte Dreieck gezeichnet werden.
Auflösung. Man stecke[7] eine der gegebenen Seiten, z. B. a in der
Linie BC ab, beschreibe aus dem einen Endpunkt B mit der Seite c als
Radius einen Bogen mn, ebenso aus C mit der Seite b als Radius einen
zweiten Bogen pq, und ziehe von dem Durchschnittspunkt A der
beiden Bögen Gerade nach B und C, so ist ABC das verlangte Dreieck.
Aufgaben. 1. Auf einer Linie BH in einem bestimmten Punkte D eine
Senkrechte zu errichten.
2. Eine gegebene Linie zu halbieren.

3. Von einem ausserhalb einer Linie GH gegebenen Punkte A eine
Senkrechte auf dieselbe zu fällen.
* * * * *
Wenn zwei Parallelen von einer dritten Linie geschnitten werden, so
entstehen acht Winkel:
[Illustration]
I. Auf einerlei Seite der Schneidenden:
1. Innere Winkel innerhalb der Parallelen.
2. Aeussere Winkel ausserhalb der Parallelen.
3. Korrespondierende oder gleichliegende Winkel (oder Gegenwinkel)
auf einerlei Seite der Parallelen, beide unterhalb oder beide oberhalb.
II. Auf verschiedenen Seiten der Schneidenden:
Wechselwinkel: innere, äussere, korrespondierende.
* * * * *
Wenn zwei Linien gegen eine dritte eine solche Lage haben, dass die
inneren Wechselwinkel gleich sind, so sind die Linien parallel.
In jedem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich zwei rechten.
Ein Dreieck kann also[8] nur einen rechten oder nur einen stumpfen
Winkel enthalten; die beiden andern müssen alsdann[9] spitz sein.
Der Aussenwinkel am Dreieck ist gleich der Summe der beiden innern
gegenüber liegenden Winkel.
Unter Aussenwinkel ist derjenige gemeint, den die Verlängerung einer
Seite mit der daran stossenden[10] bildet.

6.
Der Kreis ist eine[1] von einer krummen Linie so begrenzte ebene
Figur, dass alle ihre Punkte von einem innerhalb liegenden Punkte, den
man Mittelpunkt oder Centrum (Zentrum) nennt, gleich weit entfernt
sind.
Die[2] vom Mittelpunkt des Kreises auf eine Sehne[3] gefällte
Senkrechte halbiert die Sehne und den dazu gehörigen[4] Bogen.
Aufgabe. Durch 3 ganz beliebig[5] gegebene, jedoch nicht in gerader
Linie liegende Punkte A, B, C, einen Kreis zu beschreiben.
Auflösung. Man verbinde zwei und zwei Punkte AB und BC, so kann
man die Linien AB und BC als Sehnen des zu beschreibenden Kreises
betrachten. Errichtet man also auf deren Mittel Perpendikel, so muss
jedes derselben durch den gesuchten Mittelpunkt gehen.
Der Centriwinkel[6] ist immer doppelt so gross als der auf demselben
Bogen stehende Peripheriewinkel[7].
Jeder Winkel im Halbkreise ist ein rechter Winkel.
* * * * *
In jedem Parallelogramm sind die gegenüber liegenden Seiten und
Winkel einander gleich, und eine Diagonale teilt es in zwei kongruente
Dreiecke.
Parallelogramme von gleicher Grundlinie und Höhe sind
inhaltsgleich.[8]
Der Inhalt eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus Grundlinie
und Höhe.
DER PYTHAGORAEISCHE LEHRSATZ.
[Illustration]

Der Pythagoräische Lehrsatz. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das
Quadrat der Hypotenuse so gross wie die Quadrate der beiden
Katheten[9] zusammengenommen.
Beweis. Sei[10] CAB ein bei A rechtwinkliges Dreieck, und seien über
seinen drei Seiten Quadrate errichtet, so soll die Fläche des auf der
Hypotenuse BC stehenden Quadrats allein so gross sein wie die
Flächen der[11] beiden auf den Katheten AC und AB stehenden
Quadrate zusammengenommen. Aus dem Scheitel A des rechten
Winkels sei AL parallel zu CH gezogen, so ist dadurch das Quadrat der
Hypotenuse in zwei Rechtecke CHLK und LKBJ geteilt, und es
lässt[12] sich nun zeigen, dass jedes der beiden Rechtecke seinem
benachbarten Quadrate an Inhalt gleich ist. Zieht man nämlich noch die
Hülfslinien[13] AJ und CG, so haben die beiden Dreiecke ABJ und
CBG zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel gleich, nämlich
JB=CB.
(Man denke sich das Dreieck CBG um den Punkt B gedreht, so fällt der
Punkt C auf J und G auf A.)
Das Dreieck