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des Winkels.
Zwei Winkel, welche einen Scheitel gemein haben und deren beiden andern Schenkel eine gerade Linie bilden, heissen Nebenwinkel.
Alle Winkel, welche an einerlei[3] Seite einer geraden Linie liegen und einen Scheitel in derselben gemein haben, betragen zusammen zwei rechte Winkel.
Wenn zwei gerade Linien sich schneiden, so sind je zwei gegen��ber liegende Winkel, welche man Scheitelwinkel nennt, einander gleich.
Alle Winkel, welche rings um einen gemeinschaftlichen Scheitelpunkt liegen, betragen zusammen immer vier rechte.
Zwei Dreiecke sind kongruent[4], wenn sie zwei Seiten und den[5] von denselben eingeschlossenen Winkel wechselweise gleich haben.
Aufgabe. Es[6] sind alle drei Seiten, a, b, c, eines Dreiecks gegeben; es soll das dadurch bestimmte Dreieck gezeichnet werden.
Aufl?sung. Man stecke[7] eine der gegebenen Seiten, z. B. a in der Linie BC ab, beschreibe aus dem einen Endpunkt B mit der Seite c als Radius einen Bogen mn, ebenso aus C mit der Seite b als Radius einen zweiten Bogen pq, und ziehe von dem Durchschnittspunkt A der beiden B?gen Gerade nach B und C, so ist ABC das verlangte Dreieck.
Aufgaben. 1. Auf einer Linie BH in einem bestimmten Punkte D eine Senkrechte zu errichten.
2. Eine gegebene Linie zu halbieren.
3. Von einem ausserhalb einer Linie GH gegebenen Punkte A eine Senkrechte auf dieselbe zu f?llen.
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Wenn zwei Parallelen von einer dritten Linie geschnitten werden, so entstehen acht Winkel:
[Illustration]
I. Auf einerlei Seite der Schneidenden:
1. Innere Winkel innerhalb der Parallelen.
2. Aeussere Winkel ausserhalb der Parallelen.
3. Korrespondierende oder gleichliegende Winkel (oder Gegenwinkel) auf einerlei Seite der Parallelen, beide unterhalb oder beide oberhalb.
II. Auf verschiedenen Seiten der Schneidenden:
Wechselwinkel: innere, ?ussere, korrespondierende.
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Wenn zwei Linien gegen eine dritte eine solche Lage haben, dass die inneren Wechselwinkel gleich sind, so sind die Linien parallel.
In jedem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich zwei rechten.
Ein Dreieck kann also[8] nur einen rechten oder nur einen stumpfen Winkel enthalten; die beiden andern m��ssen alsdann[9] spitz sein.
Der Aussenwinkel am Dreieck ist gleich der Summe der beiden innern gegen��ber liegenden Winkel.
Unter Aussenwinkel ist derjenige gemeint, den die Verl?ngerung einer Seite mit der daran stossenden[10] bildet.
6.
Der Kreis ist eine[1] von einer krummen Linie so begrenzte ebene Figur, dass alle ihre Punkte von einem innerhalb liegenden Punkte, den man Mittelpunkt oder Centrum (Zentrum) nennt, gleich weit entfernt sind.
Die[2] vom Mittelpunkt des Kreises auf eine Sehne[3] gef?llte Senkrechte halbiert die Sehne und den dazu geh?rigen[4] Bogen.
Aufgabe. Durch 3 ganz beliebig[5] gegebene, jedoch nicht in gerader Linie liegende Punkte A, B, C, einen Kreis zu beschreiben.
Aufl?sung. Man verbinde zwei und zwei Punkte AB und BC, so kann man die Linien AB und BC als Sehnen des zu beschreibenden Kreises betrachten. Errichtet man also auf deren Mittel Perpendikel, so muss jedes derselben durch den gesuchten Mittelpunkt gehen.
Der Centriwinkel[6] ist immer doppelt so gross als der auf demselben Bogen stehende Peripheriewinkel[7].
Jeder Winkel im Halbkreise ist ein rechter Winkel.
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In jedem Parallelogramm sind die gegen��ber liegenden Seiten und Winkel einander gleich, und eine Diagonale teilt es in zwei kongruente Dreiecke.
Parallelogramme von gleicher Grundlinie und H?he sind inhaltsgleich.[8]
Der Inhalt eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus Grundlinie und H?he.
DER PYTHAGORAEISCHE LEHRSATZ.
[Illustration]
Der Pythagor?ische Lehrsatz. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse so gross wie die Quadrate der beiden Katheten[9] zusammengenommen.
Beweis. Sei[10] CAB ein bei A rechtwinkliges Dreieck, und seien ��ber seinen drei Seiten Quadrate errichtet, so soll die Fl?che des auf der Hypotenuse BC stehenden Quadrats allein so gross sein wie die Fl?chen der[11] beiden auf den Katheten AC und AB stehenden Quadrate zusammengenommen. Aus dem Scheitel A des rechten Winkels sei AL parallel zu CH gezogen, so ist dadurch das Quadrat der Hypotenuse in zwei Rechtecke CHLK und LKBJ geteilt, und es l?sst[12] sich nun zeigen, dass jedes der beiden Rechtecke seinem benachbarten Quadrate an Inhalt gleich ist. Zieht man n?mlich noch die H��lfslinien[13] AJ und CG, so haben die beiden Dreiecke ABJ und CBG zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel gleich, n?mlich JB=CB.
(Man denke sich das Dreieck CBG um den Punkt B gedreht, so f?llt der Punkt C auf J und G auf A.)
Das Dreieck ABJ hat nun mit dem Rechteck LKBJ einerlei Grundlinie BJ und gleiche H?he KB; ebenso haben das Dreieck CBG und das Quadrat ABGF einerlei Grundlinie BG und gleiche H?he AB, daher: Dreieck ABJ=1/2 Rechteck KBJL und CBG=1/2 Quadrat ABGF. Da nun die beiden Dreiecke ABJ und CBG gleich gross sind, so ist auch 1/2 Rechteck KBJL=1/2 Quadrat ABGF, also auch das ganze Rechteck so gross wie das ganze Quadrat.
Ebenso zeigt man an der andern Seite, indem man[14] die H��lfslinien AH und BD zieht, dass auch das Rechteck CHLK dem Quadrat ACDE an Fl?che gleich ist, und folglich auch beide Rechtecke zusammen, d. i.[15] das Quadrat der Hypotenuse, so gross ist, wie die Summe der Quadrate der beiden Katheten.
Zusatz. Das Quadrat der einen Kathete ist so gross wie das Quadrat der Hypotenuse weniger dem Quadrat