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sodann vom Produkte soviele Dezimalstellen ab, als deren der gegebene Dezimalbruch enth?lt.
2.
Eine Zahl enth?lt den Faktor 9 und ist daher durch 9 teilbar, wenn die Quersumme[1] der Ziffern, mit welcher die Zahl geschrieben wird, durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl enth?lt den Faktor 11 und ist also[2] durch 11 teilbar, wenn die Quersumme der ersten, dritten, f��nften, siebenten etc. (d. h.[8] der ungeradstelligen[3]) gleich der Quersumme der 2., 4., 6., 8., etc. (d. h. der geradstelligen) Ziffern, von der Rechten gegen die Linke gez?hlt, ist, oder die Differenz dieser beiden Quersummen 11 oder ein Mehrfaches[4] von 11 betr?gt.
Nur Br��che mit gleichen Nennern[5] k?nnen addiert und subtrahiert werden.
Gleichnamige Br��che werden addiert, indem man ihre Z?hler[5] addiert.
Br��che mit ungleichen Nennern werden addiert oder subtrahiert, indem man[6] sie zuerst in Br��che mit gleichen Nennern verwandelt, und diese sodann addiert oder subtrahiert.
Man zerlege die Nenner der gegebenen Br��che in ihre Grundfaktoren,[7] d. h. in ihre kleinsten Faktoren.
Man nehme aus der Reihe dieser Grundfaktoren zur Bildung des gemeinschaftlichen Nenners so viele als zur Darstellung jedes einzelnen Nenners, an und f��r sich[9] betrachtet, n?tig sind.
Aus den auf diese Weise ausgew?hlten Grundfaktoren bildet man sodann ein Produkt; dieses ist alsdann der kleinste gemeinschaftliche Nenner.
Unter Br��chen von gleichen Nennern und ungleichen Z?hlern ist derjenige der gr?ssere und beziehungsweise[10] der gr?sste, welcher den gr?sseren bezw. den gr?ssten Z?hler hat, und umgekehrt; und zwar: wievielmal gr?sser oder kleiner der Z?hler eines Bruches als der Z?hler eines anderen Bruches ist, sovielmal gr?sser oder kleiner ist auch der Wert des einen als der Wert des anderen Bruches.
Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, entweder (a) indem man den Z?hler mit der ganzen Zahl multipliziert; oder (b) indem man den Nenner durch die ganze Zahl dividiert.
Ein Bruch wird durch einen andern Bruch dividiert, indem man den Disivor umkehrt, (d. h. indem man dessen Nenner zum Z?hler macht) und alsdann mit demselben multipliziert.
Das Verfahren, den gr?ssten gemeinschaftlichen Faktor zweier Zahlen zu finden, besteht darin[11], dass man mit der kleineren der beiden Zahlen in die gr?ssere, mit dem hierbei erhaltenen Reste in den vorigen Divisor, mit dem hierbei bleibenden Reste in den n?chst vorhergehenden Divisor etc. dividiert. Erh?lt man endlich keinen Rest mehr, so zeigt dies an, dass der letzte Divisor der gr?sste gemeinschaftliche Faktor der beiden betreffenden[12] Zahlen ist.
Man findet das vierte Glied[12] einer geometrischen Proportion, indem man das Produkt des zweiten und dritten Gliedes durch das erste Glied dividiert.
Das Produkt der ?usseren Glieder ist gleich dem Produkt der inneren Glieder. Das erste Hinterglied[13] verh?lt sich zum ersten Vorderglied[13], wie das zweite Hinterglied zum zweiten Vorderglied.
Eine Progression heisst steigend, wenn jedes folgende Glied derselben gr?sser; fallend, wenn jedes folgende Glied kleiner ist als das vorhergehende.
3.
AUFGABEN.
1. Die Zahl 5 soll[1] erhoben werden: a) ins Quadrat[2], b) in den Kubus, c) ins Biquadrat, d) in die f��nfte Potenz.
2. Aus 64 soll ausgezogen werden: a) die Quadratwurzel, b) die Kubikwurzel.
3. Bei einem Gesch?fte verdienen 5 Arbeiter in 42 Tagen bei 8st��ndiger Arbeit $210. Was w��rden 9 Arbeiter in 35 Tagen bei 10st��ndiger Arbeit verdienen?
Aufl?sung. Je mehr Arbeiter, desto mehr Verdienst; also setzt man 5:9. Je weniger Tage, desto weniger Verdienst; also 42:35. Je mehr Stunden, desto mehr Verdienst; also 8:10. Nun multipliziert man $210 mit dem Produkt aus den Hintergliedern und dividiert durch das Produkt aus den Vordergliedern, was man dadurch vereinfacht[3], dass man erst die gemeinschaftlichen Faktoren herausnimmt.
4. Ein Kaufmann findet, dass er durch einen gl��cklichen Handel mit seinem angelegten Kapital 15 Prozent gewonnen hat und dass dasselbe dadurch auf $15,571 angewachsen ist. Was war sein angelegtes Kapital? Antwort: $13,540.
5. Ein Vater sagt zu seinem Sohne: Gegenw?rtig bin ich gerade sechsmal so alt als du; nach zw?lf Jahren werde ich nur dreimal so alt sein als du; wie alt ist der Vater und wie alt der Sohn?
Aufl?sung. Es sei[4] x das gegenw?rtige Alter des Sohnes; also ist 6x das des Vaters.
In 12 Jahren ist der Sohn x+12 und der Vater 6x+12 Jahre alt.
Da des Vaters Alter dann 3mal das des Sohnes betr?gt[5], so muss man das des Sohnes mit 3 multiplizieren, um die Gleichung 6x+12=3x+36 zu erhalten.
Indem man nun die x zur linken und die Zahlen zur rechten des Gleichheitszeichens sammelt, erh?lt man 3x=24, oder x (das gegenw?rtige Alter des Sohnes)=8, woraus 6x (das gegenw?rtige Alter des Vaters)=48.
Beweis. Die Rechnung stimmt[6], denn in 12 Jahren hat der Sohn 8+12=20 und der Vater 48+12=60 Jahre, ist also dreimal so alt.
6. Zwei Kapitalisten berechnen ihr Verm?gen. Es ergiebt sich, dass der eine doppelt so reich ist als der andere und dass sie zusammen $38,700 besitzen. Wie reich ist nun jeder?
7. Alle meine Reisen zusammen, erz?hlt ein Reisender, belaufen[7] sich auf 3040 Meilen; davon machte ich 3-1/2 mal so viel zu Wasser als zu Pferde, und 2-1/3 mal so viel zu Fuss als zu Wasser. Wie viele Meilen reiste dieser Mann auf jede von den drei erw?hnten Arten? (240,