German Science Reader | Page 5

der andern Kathete.
7.
Parallellinien. Zwei gerade Linien, welche in einerlei Ebene liegen und nach keiner Seite hin[1] zusammentreffen, wie weit[2] man sie auch verl?ngert denken mag, heissen parallel (gleichlaufend[3]).
Wenn man auf dem einen Schenkel eines Winkels gleiche Stücke abschneidet und durch die Teilpunkte Parallele an den andern Schenkel zieht, so schneiden diese auch auf dem andern Schenkel gleiche Stücke ab.
Parallelen zwischen den Schenkeln eines Winkels schneiden auf denselben proportionale Stücke ab.
Zwei Figuren heissen ?hnlich, wenn sie gleichwinklig sind und die[4] in gleicher Ordnung zwischen gleichen Winkeln liegenden Seiten dasselbe Verh?ltnis zu einander haben.
In ?hnlichen Dreiecken sind die[5] den gleichen Winkeln gegenüber liegenden Seiten proportional.
Die Umf?nge ?hnlicher Figuren verhalten sich[6] wie zwei ?hnlich liegende Seiten, ihre Inhalte aber wie die Quadrate ?hnlich liegender Seiten.
Wenn in einer Proportion die beiden innern Glieder gleich sind, wie in 2:6=6:18, so heisst eines der gleichen mittlern Glieder die mittlere Proportionale oder das geometrische Mittel der beiden ?ussern.
Das Perpendikel von einem beliebigen Punkte der Peripherie eines Kreises auf den Durchmesser ist die mittlere Proportionale zwischen den beiden Abschnitten des Durchmessers.
Die[7] vom Scheitel des rechten Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks auf die Hypotenuse gef?llte Senkrechte ist das geometrische Mittel zwischen den Abschnitten der Hypotenuse.
Jede der beiden Sehnen ist die mittlere Proportionale zwischen dem anliegenden[8] Abschnitt des Durchmessers und dem ganzen Durchmesser.
Jede Kathete ist das geometrische Mittel zwischen dem anliegenden Abschnitt der Hypotenuse (begrenzt durch die H?he auf derselben) und der Hypotenuse selbst.
Aufgabe. Ein Quadrat zu zeichnen, welches so gross ist wie ein gegebenes Rechteck; mit anderen Worten, ein gegebenes Rechteck PBDE in ein an Inhalt gleiches Quadrat zu verwandeln.
Aufl?sung. Es kommt nur darauf an,[9] zu den beiden gegebenen Seiten des Rechtecks PE und PB die mittlere Proportionale x zu finden, so dass PE:x=x:PB, denn dann ist x2=PE.PB.
[Illustration]
Man füge also PE geradlinig an PB, so dass AP=PE, beschreibe über AB, als Durchmesser, einen Halbkreis, errichte in P auf AB das Perpendikel MP, so ist das über dieses Perpendikel konstruierte Quadrat MPQR das verlangte, weil MP2=AP.PB=PE.PB.
8.
Ein Vieleck heisst regelm?ssig, wenn alle Seiten und alle Winkel gleichgross sind.
[Illustration]
Um um[1] einen Kreis ein regelm?ssiges Viereck zu beschreiben, dessen Seiten mit denen des eingeschriebenen parallel sind, halbiere[2] man einen Bogen in M, ziehe durch M eine Tangente, welche die verl?ngerten Radien CB, CD in T und H schneidet, dann ist HT eine Seite des umschriebenen Vierecks, welche man nur in dem mit CT als Halbmesser beschriebenen zweiten Kreise herumzutragen[3] braucht.
* * * * *
Der Inhalt eines[4] um den Kreis beschriebenen regelm?ssigen Vielecks ist gleich der Fl?che[5] eines Dreiecks, dessen Grundlinie gleich dem Umfang des Vielecks, und dessen H?he gleich dem halben Radius des Kreises ist.
Der Fl?cheninhalt eines Kreises ist so gross wie der eines Dreiecks, dessen Grundlinie gleich dem Umfange und dessen H?he gleich dem Halbmesser des Kreises ist.
KOERPERLICHE[6] GEOMETRIE.
So wie man eine gerade Linie nach beiden Enden hin bis in's Unendliche[7] verl?ngert denken kann, so kann man sich auch eine Ebene nach allen Seiten hin bis ins Unendliche ausgedehnt denken.
Durch zwei Punkte A und B, oder durch die sie verbindende gerade Linie kann man unz?hlige Ebenen legen (führen).
K?rper[8] heisst jeder nach allen Richtungen hin begrenzte Raum. Die Summe aller ihn begrenzenden Fl?chen heisst die Oberfl?che des K?rpers.
Die Linien, in welche sich irgend zwei[9] den K?rper begrenzende Ebenen schneiden, heissen Kanten.
An den Punkten, in welchen drei oder mehrere Grenzebenen zusammenstossen, entsteht[10] das, was man, von aussen betrachtet, eine Ecke, von innen gesehen, einen k?rperlichen Winkel nennt.
Jeder K?rper, dessen Grundfl?chen[11] kongruente Vielecke, und dessen Seitenfl?chen, welche die parallelen Seiten dieser Vielecke verbinden, Parallelogramme sind, heisst ein Prisma, und zwar[12] ein dreiseitiges, vierseitiges etc., je nachdem die Grundfl?chen Dreiecke, Vierecke etc. sind.
Walze oder Cylinder (Zylinder) heisst jeder prismatische K?rper, der zwei kongruente und parallele Kreise zu Grundfl?chen hat und dessen Seitenfl?che (Mantel) eine einzige solche krumme Fl?che ist, deren s?mmtliche mit der Grundfl?che parallele Durchschnitte der Grundfl?che gleich sind.
Man unterscheidet gerade und schiefe Cylinder, je nachdem ihre Achse senkrecht oder schief auf der Grundfl?che steht.
Würfel oder Kubus heisst jedes Parallelopiped, dessen Grundfl?chen und Seitenfl?chen Quadrate sind, die folglich gleich und senkrecht auf einander sind.
Kegel heisst jeder pyramidische K?rper, dessen Grundfl?che gew?hnlich ein Kreis, und dessen Seitenfl?che (Mantel) eine einzige solche krumme ist, dass darin von der Spitze nach jedem Punkte der Peripherie der Grundfl?che eine gerade Linie gezogen werden kann.
9.
Die Seitenfl?che eines geraden Prismas wird erhalten, indem man den Umfang mit der H?he multipliziert.
Pyramiden von gleich grosser Grundfl?che und H?he sind inhaltsgleich.[1]
Der Inhalt einer Pyramide ist gleich dem dritten Teil vom Produkte aus Grundfl?che und H?he, oder, was dasselbe sagt, gleich der Grundfl?che mit einem Drittel der H?he multipliziert.
Man kann den Kegel als eine Pyramide betrachten, deren Grundfl?che ein regelm?ssiges Vieleck von unendlich vielen Seiten ist.
Der Cylinder kann als ein regelm?ssiges Prisma von unendlicher Seitenzahl betrachtet werden.
Was die Mantelfl?che[2] des geraden Cylinders betrifft, so kann man sich dieselbe vom Cylinder abgewickelt denken und erh?lt dann offenbar